主记忆领域的问题是在数值计算上的问题之一。

假设 N 是 10⁴ 的 order。通常，数值计算程序内部行列和矢量是用双精度记录的，N 次正方行列 A 的记忆领域为 sizeof(double)* N * N =8 *10⁴ * 10⁴＝800MB。 800MB 的主记忆领域不是那种经常会拥有的东西, 虽然这么说也非那种不可能的数字。但是，N 如果变成 10⁵ 或10⁶ 的话，各自就变成80GB,8TB。这样的话不用说内存就连硬盘也已经很困难了。 Google 从处理着10亿以上的页面(2001年时)以来，就知道这种规矩的做法已经完全不适用了。

不过，A 只是稀疏(sparse)行列。因为即使有一部分的页面拼命地进行链接，但是向整个Web展开链接的页面是没有的，即使有也是极为稀少的。平均一下，每一张页面有10-20个左右的链接(根据 IBM Almaden 研究所'Graph structure in the web' 的统计，平均在16.1个左右)。因此，我们可以采用恰当的压缩方法来压缩 A 。 N 即使是 10⁶ 时，如果平均链接数是10，最终的记忆领域只要 80MB，从规模上来说可以收纳到合理的数字里。

稀疏行列的容纳方式当今已经被充分地研究(有限要素法的解法等)，在恰当的数值计算的专业书中就可以学到。虽然这么说，因为相当地难解还是需要很复杂的手法。但想指出的是如果可以很好的解决的话，并列化的高速计算(也许)就变得可能了。因为比起怎样排列并容纳非零要素来说，计算性能和并列性能对其的影响会更大。

数值计算上的问题点(其2)

另一个是收敛问题。

固定方程式

xⁱ＝ΣA_ijx_i

是 N 元的联立一次方程式，一般地不能得到分析解，所以只能解其数值。刚才举的例子中为了求特性值和固有矢量，使用了 Octave 的 eig()函数, 不过，这个在问题小的时候不能适用。说起来，并不需要计算全部的特性值/固有矢量。

求最大特性值和属于它的固有矢量(优固有矢量)的数值计算手法中，一般使用「幂乘法」(也叫反复法)。这是指，取适当初期矢量 x⁰ ，当 x⁽ⁿ⁺¹⁾ = A y⁽ⁿ⁾ (其中 y⁽ⁿ⁾ = x⁽ⁿ⁾ / c⁽ⁿ⁾ )中的 n →∞ 时，x 向拥有最大特性值的固有矢量收敛的同时 c 向此最大特性值收敛的利用线形代数性质的计算方法(证明请参照线形代数的教科书)。幂乘法(反复法)的特长与逐次反复计算的近似法比，能够改善解矢量的问题。它的优点是，因为只要反复对行列和矢量进行适当次数的乘法运算，所以只要通过程序就能够简单地解决，并且还可以进行由于受到内存和硬盘的限制通过直接法不能解决的大规模分析。这是许多的实用算法的出发点。

在这里，请注意从线形代数的简单定理(Peron-Frobenius定理)得到推移概率行列的绝对价值的最大特性值是1。如果采用了这个，就会使得反复法的 PageRank 的计算变得更容易。即，因为最大特性值是既知的，比起求满足 Ax=x 的矢量 x来说 ，变成更加简单的问题了。这虽然是很细小的地方但是很重要。首先，可以去掉比较花费成本的除法计算 (y⁽ⁿ⁾=x⁽ⁿ⁾/c⁽ⁿ⁾)不用完成。如果是反复法的话，不能得到很高的精确度，并且如果搞错了加速方法的话，计算出的不是是最大特性值而是第二大特性值和属于它的固有矢量(虽然这种情况很少，但是说不定就是从根本上错误的值)。但如果知道了最大特性值，就可以进行核对了。在 Pagerank 的第一篇论文中他们似乎没有注意到这个事情,但在 Haveliwala 的第二论文中增加了关于此的修正。

反复的次数取决于想要求的精度。也就是说，想要求的精度越高，反复的次数就越多。可是，幂乘法(反复法)的误差的收敛比与系数行列的谱段特性(特性值的绝对值分布)有很强的依存关系。具体地说，绝对值最大的特性值用λ₁表示，第二位用 λ₂ 表示，优越率(收敛率 probability of dominance)为 d =λ₁/λ₂ 话，可以知道d离1越近收敛就变得越慢。在 N 很大的情况时d当然离1很近。这是因为，绝对值最大的特性值是1，而其他所有的 N-1 个特性值的绝对值都比1小。但是，N-1个特性值之间非常的拥挤，所以λ